Убывающая геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего и отношение любых двух последовательных элементов постоянно. Найти сумму такой прогрессии можно с помощью специальной формулы.
Для нахождения суммы убывающей геометрической прогрессии нужно знать первый элемент прогрессии, отношение и количество элементов. В данном случае первый элемент прогрессии равен 3/2, отношение равно 2/3, а количество элементов равно 3.
Формулу для нахождения суммы убывающей геометрической прогрессии можно записать следующим образом:
S = a / (1 - q),
где S - сумма прогрессии, a - первый элемент прогрессии, q - отношение прогрессии. Подставив в эту формулу значения первого элемента и отношения прогрессии, можно вычислить сумму.
Таким образом, сумма убывающей геометрической прогрессии 3/2, 1, 2/3 равна:
S = (3/2) / (1 - 2/3).
Что такое убывающая геометрическая прогрессия
Для примера, рассмотрим последовательность чисел 3/2, 1, 2/3. В этом ряду знаменатель равен 2/3, так как каждое следующее число получается путем умножения предыдущего числа на 2/3.
Чтобы найти сумму убывающей геометрической прогрессии, можно использовать формулу:
S = a / (1 - r),
где S - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель.
Определение и особенности
Формула для нахождения суммы убывающей геометрической прогрессии имеет вид:
Sn = a * (1 - qn) / (1 - q),
где:
Sn - сумма первых n членов прогрессии,
a - первый член прогрессии,
q - знаменатель прогрессии,
n - количество элементов прогрессии.
Следует отметить, что в данной формуле модуль значения знаменателя q должен быть меньше единицы для сходимости суммы прогрессии. Также важно учитывать, что при подстановке отрицательного значения q в формулу, требуется использование модуля этого значения для корректного нахождения суммы.
Особенность убывающей геометрической прогрессии состоит в том, что сумма всех членов может быть конечной, даже если количество членов бесконечно, при условии, что модуль значения знаменателя q меньше единицы.
Такая прогрессия имеет разнообразное применение в различных областях, например, в физике, экономике, анализе данных и других науках.
Формула для нахождения суммы
Для нахождения суммы убывающей геометрической прогрессии можно использовать следующую формулу:
S = a * (1 - q^n) / (1 - q)
где:
- S - сумма убывающей геометрической прогрессии;
- a - первый член прогрессии;
- q - знаменатель прогрессии;
- n - количество членов прогрессии.
В данной формуле значение a равно 3/2, q равно 1/2 и n равно 3, поэтому для нахождения суммы S подставим эти значения в формулу:
S = (3/2) * (1 - (1/2)^3) / (1 - 1/2)
Если привести данное выражение к общему знаменателю и решить, то получим итоговую сумму убывающей геометрической прогрессии.
Применение формулы
Для нахождения суммы убывающей геометрической прогрессии, заданной элементами 3/2, 1 и 2/3, используется следующая формула:
Sn = a * (1 - qn+1) / (1 - q)
Где:
- Sn - сумма первых n элементов прогрессии
- a - первый элемент прогрессии (3/2)
- q - знаменатель прогрессии (2/3)
Для данной прогрессии, мы можем найти сумму первых n элементов, заменив значения в формуле.
Например:
Для нахождения суммы первых 5 элементов данной прогрессии:
S5 = (3/2) * (1 - (2/3)5+1) / (1 - (2/3))
Пример решения
Для решения задачи о сумме убывающей геометрической прогрессии с элементами 3/2, 1, и 2/3, мы можем использовать формулу:
Sn = a * (1 - rn+1) / (1 - r)
Где:
Sn - сумма первых n элементов прогрессии,
a - первый элемент прогрессии,
r - знаменатель прогрессии (отношение двух последующих элементов).
В данном случае:
a = 3/2,
r = 2/3,
n = ∞ (бесконечная прогрессия).
Подставляя значения в формулу, получаем:
S∞ = (3/2) * (1 - (2/3)∞+1) / (1 - 2/3)
Поскольку знаменатель прогрессии r меньше 1, аргумент степени ∞+1 стремится к нулю, и мы можем сказать, что:
(2/3)∞+1 = 0.
Поэтому формула принимает вид:
S∞ = (3/2) * (1 - 0) / (1 - 2/3)
Далее проводя простые математические вычисления:
S∞ = (3/2) / (1/3)
S∞ = (3/2) * (3/1)
S∞ = 9/2
Таким образом, сумма убывающей геометрической прогрессии 3/2, 1, 2/3 равна 9/2.
Шаги вычислений и ответ
В нашем случае первый элемент прогрессии a = 3/2 и знаменатель q = 2/3.
Вычислим сумму убывающей геометрической прогрессии, используя формулу для суммы прогрессии:
- Найдем сумму первых n элементов прогрессии по формуле Sn = a * (1 - qn) / (1 - q).
- Подставим значения a и q в формулу: Sn = (3/2) * (1 - (2/3)n) / (1 - 2/3).
- Решим полученное выражение для суммы прогрессии, например, если нужно найти сумму первых 5 элементов, подставим n = 5 и вычислим: S5 = (3/2) * (1 - (2/3)5) / (1 - 2/3).
- Полученное значение и будет суммой данной убывающей геометрической прогрессии.
Таким образом, шаги вычислений и ответ:
S5 = (3/2) * (1 - (2/3)5) / (1 - 2/3) = (3/2) * (1 - (2/3)5) / (1/3) = 9/2 * (1 - 32/243) / (1/3) = 9/2 * (243 - 32) / 32 = 9/2 * 211/32 = 9/2 * 211/32 = 211/64 ≈ 3.297.