Одним из основных предположений, которые часто используются в статистике и анализе данных, является предположение о нормальном распределении. Гипотеза о нормальности может быть проверена с помощью различных методов. В данной статье мы рассмотрим 7 из них.
Первым методом проверки гипотезы о нормальности является графический анализ. Для этого строится гистограмма и qq-график. Гистограмма позволяет оценить форму распределения данных, а qq-график - проверить соответствие распределения нормальному.
Второй метод - тест Шапиро-Уилка. Этот тест позволяет проверить гипотезу о нормальности на основе анализа квантилей нормального распределения. Он особенно эффективен для выборок небольшого размера.
Третий метод - тест Колмогорова-Смирнова. Он используется для проверки гипотезы о совпадении эмпирической функции распределения с теоретической нормальной функцией распределения. Этот тест не требует предварительного определения параметров распределения.
Четвертый метод - тест Лиллиефорса. Он также используется для проверки соответствия эмпирической функции распределения нормальной функции распределения. Однако, в отличие от теста Колмогорова-Смирнова, этот тест предполагает известные параметры распределения.
Пятый метод - критерий Жарка-Бера. Он основан на анализе асимметрии и эксцесса распределения и используется для проверки гипотезы о нормальности. Этот критерий позволяет выявить отклонения от нормального распределения, вызванные не только взаимосвязью между переменными, но и другими факторами.
Шестой метод - критерий Андерсона-Дарлинга. Он позволяет проверять гипотезу о нормальности на основе сравнения эмпирической функции распределения с функцией распределения нормального распределения с известными параметрами. С помощью этого критерия можно оценить плотность вероятности распределения.
Седьмой метод - тест Крамера-Мизеса-Смирнова. Он также базируется на сравнении эмпирической функции распределения с функцией распределения нормального распределения. Однако этот тест менее чувствителен к изменению в хвостах распределения.
Что такое гипотеза о нормальном распределении?
Нормальное распределение характеризуется симметричным колоколообразным графиком, который имеет пик в центре и два хвоста, расходящихся в обе стороны. Оно описывается двумя параметрами - средним значением (математическим ожиданием) и стандартным отклонением.
Гипотеза о нормальном распределении используется для проверки, насколько данные соответствуют или отклоняются от предполагаемого нормального распределения. Данная гипотеза является одной из основных гипотез, используемых в статистике и может быть проверена с помощью различных методов и статистических тестов.
Критерий Шапиро-Уилка
Основная идея критерия Шапиро-Уилка заключается в том, чтобы проверить, насколько хорошо данные соответствуют нормальному распределению. Для этого вычисляется набор статистик, основанных на сравнении кумулятивных распределений данных с нормальным распределением.
Критерий Шапиро-Уилка имеет несколько преимуществ по сравнению с другими методами проверки гипотезы о нормальности. Он является более мощным для небольших выборок и более устойчивым к нарушениям нормальности в данных.
Процедура проверки гипотезы о нормальности с помощью критерия Шапиро-Уилка состоит из следующих шагов:
- Сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы. Нулевая гипотеза предполагает, что данные имеют нормальное распределение, а альтернативная гипотеза предполагает, что данные не имеют нормального распределения.
- Вычислить статистику критерия Шапиро-Уилка. Для этого необходимо вычислить набор коэффициентов и нормировать их.
- Вычислить уровень значимости статистики критерия Шапиро-Уилка. Уровень значимости определяет, насколько высока вероятность отклонить нулевую гипотезу, если она верна.
- Принять решение о принятии или отклонении нулевой гипотезы на основе полученного уровня значимости и выбранного уровня статистической значимости.
Критерий Шапиро-Уилка считается одним из наиболее эффективных методов проверки гипотезы о нормальности. Он широко используется в статистическом анализе и помогает исследователям оценить, насколько данные соответствуют нормальному распределению.
Критерий Колмогорова-Смирнова
Критерий Колмогорова-Смирнова используется для проверки гипотезы о нормальном распределении путем сравнения эмпирической функции распределения с функцией распределения нормальной случайной величины.
Применение критерия Колмогорова-Смирнова состоит из следующих шагов:
- Собрать выборку данных и рассчитать эмпирическую функцию распределения.
- Сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы. Нулевая гипотеза предполагает, что выборка имеет нормальное распределение.
- Рассчитать статистику критерия Колмогорова-Смирнова, которая представляет собой максимальное отклонение между эмпирической функцией распределения и функцией распределения нормальной случайной величины.
- Определить уровень значимости и рассчитать критическое значение критерия Колмогорова-Смирнова.
- Сравнить рассчитанное значение статистики с критическим значением и принять решение: отвергнуть или не отвергнуть нулевую гипотезу.
Если рассчитанное значение статистики больше критического значения, то нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной гипотезы, что указывает на отличие выборки от нормального распределения.
Критерий Колмогорова-Смирнова является непараметрическим критерием, что означает, что он не требует предположения о параметрах распределения и может применяться к выборкам разных размеров.
Однако этот критерий может быть чувствителен к выбросам и может давать неверные результаты, если выборка содержит явные отклонения от нормального распределения.
Критерий Андерсона-Дарлинга
Критерий Андерсона-Дарлинга дополнительно учитывает не только среднеквадратичное отклонение и среднее значение выборки, но и коэффициент асимметрии и эксцесс. Он предполагает, что исследуемые данные были взяты из нормально распределенной генеральной совокупности и при определенных предпосылках позволяет оценить вероятность того, что эта гипотеза верна.
Критерий Андерсона-Дарлинга вычисляет значение статистики, основываясь на различиях между эмпирической и теоретической функциями распределения. Чем больше значение статистики, тем сильнее отличаются эмпирические данные от нормального распределения.
Результаты критерия Андерсона-Дарлинга интерпретируются с помощью критических значений, которые позволяют принять или отвергнуть гипотезу о нормальности данных. Если значение статистики превышает критическое значение, то гипотеза о нормальности отвергается.
Критерий Андерсона-Дарлинга является одним из наиболее чувствительных критериев для проверки гипотезы о нормальности данных и широко используется в различных областях статистики и анализа данных.
Q-Q график
На Q-Q графике на горизонтальной оси отображаются квантили наблюдаемых данных, а на вертикальной оси - квантили теоретического нормального распределения. Если данные точно соответствуют нормальному распределению, точки на графике будут следовать прямой линии. Отклонения от прямой линии указывают на отличия данных от нормального распределения.
Q-Q график позволяет быстро определить, насколько хорошо данные соответствуют нормальному распределению и выявить наличие аномальных значений или выбросов. Если точки на графике значительно отклоняются от прямой линии, это может быть признаком нарушения нормальности распределения.
Преимуществом Q-Q графика является его простота и наглядность. Он позволяет быстро оценить, насколько хорошо данные соответствуют нормальному распределению и принять решение о применении статистических методов, основанных на предположении нормальности данных.
Для построения Q-Q графика необходимо отсортировать значения исходных данных и рассчитать для каждого значения соответствующий квантиль. Затем эти значения отображаются на графике и соединяются линией. Чем ближе точки на графике к прямой линии, тем более близки данные к нормальному распределению.
Q-Q график является одним из методов проверки гипотезы о нормальном распределении данных и может быть полезен при статистическом анализе и визуализации данных.